Question

14．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE交于點F．
（1）求證：△ADC≌△BDF；
（2）求證：BF=2AE．

Answer 1

分析 （1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AD=BD，再根據同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AE，從而得證．

解答 證明：（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AD=BD}\\{∠ADC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDF（ASA）；

（2）∵△ADC≌△BDF，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質的應用，以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．