Question

（2013•葫蘆島一模）（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中點．直接寫出∠BMD與∠ADM的倍數關系；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2BC，M是AB的中點，過C作CE⊥AD與AD所在直線交于點E．
①若∠A為銳角，則∠BME與∠AEM有怎樣的倍數關系，并證明你的結論；
②當0°＜∠A＜

120

°時，上述結論成立；當

120

°≤∠A＜180°時，上述結論不成立．

Answer 1

分析：（1）求出AM=AD，得到△ADM是等腰直角三角形，然后求出∠BMD與∠ADM的度數，從而得解；
（2）①連接CM，取CE的中點F，連接MF，交DC于N，根據平行線分線段成比例定理可得MF∥AE∥BC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEM=∠1，∠2=∠4，再根據AB=2BC，M是AB的中點，利用等邊對等角的性質求出∠3=∠4，根據三角形三線合一的性質求出∠1=∠2，從而得解；
②求出當點E與點A重合時的∠A的度數，即為臨界值，小于臨界值，點E在射線AD上，成立，否則不成立．

解答：解：（1）∵AB=2BC，M是AB的中點，
∴AD=BC=AM，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴∠ADM=45°，∠BMD=180°-∠AMD=180°-45°=135°，
∴∠BMD=3∠ADM；

（2）①如圖，連接CM，取CE的中點F，連接MF，交DC于N，
∵M是AB的中點，
∴MF∥AE∥BC，
∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，
∵AB=2BC，
∴BM=BC，
∴∠3=∠4．
∵CE⊥AE，
∴MF⊥EC，
又∵F是EC的中點，
∴ME=MC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠BME=3∠AEM；

②當點E與點A重合時，∵CE⊥AD，AB=2BC，
∴∠B=60°，
∴∠A=180°-∠B=180°-60°=120°，
所以，當0°＜∠A＜120°時，結論成立；
當120°≤∠A＜180°時，結論不成立．

點評：本題考查了矩形的性質，平行四邊形的性質以及平行線的性質，（2）比較復雜，作出輔助線，把∠BME分成相等的三個角是解題的關鍵．