Question

2．如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=$\frac{2}{x}$于點D，從點D分別作兩坐標軸的垂線DC、OE，垂足分別為C、E，連接BC、OD．
（1）請找出一個等腰三角形；
（2）當b=-1時，求出點D坐標并判斷四邊形OBCD的形狀；
（3）當b為任意實數時（b≠0），求證：AD•BD是定值．

Answer 1

分析 （1）根據直線的k值等于1，與坐標軸相交所成的銳角是45°，所以與坐標軸所成夾角為銳角的直角三角形都是等腰直角三角形；
（2）根據題意列出方程組求出點D的坐標，得到DC=1，根據直線與坐標軸的交點的求法求出OB，根據平行四邊形的判定定理證明；
（3）根據等腰直角三角形斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍，用CD表示出AD的長度，用DE表示出BD的長度，再根據反比例函數解析式，CD•DE的值等于k值進行解答；

解答 解：（1）∵直線y=x+b，
∴比例系數k=1，
∴∠EBD=∠DAC=45°，
又DC⊥x軸，DE⊥y軸，
∴△AOB、△ACD、△BDE是等腰直角三角形；

（2）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∵點D在第一象限，
∴點D的坐標為（2，1），
∴DC=1，
∵直線y=x-1與y軸的交點坐標為（0，-1），
∴OB=1，
∴DC=OB，又DC∥OB，
∴四邊形OBCD是平行四邊形；

（3）證明：由（1）知△ACD和△BDE均為等腰直角三角形．
∴AD=$\sqrt{2}$CD，BD=$\sqrt{2}$DE．
∵點D在雙曲線y=$\frac{2}{x}$上，
∴CD•DE=2，
∴AD•BD=$\sqrt{2}$CD•$\sqrt{2}$DE=2×2=4，4為定值．

點評 本題考查的是反比例函數知識的綜合運用，掌握一次函數與反比例函數的交點的求法、角平分線的判定、等腰直角三角形的性質以及平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．