Question

20．如圖，初三一班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°．朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°，已知A點的高度AB為2米，臺階AC的坡度為1：$\sqrt{3}$（即AB：BC=1：$\sqrt{3}$），且B，C，E三點在同一條直線上，請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度．（測量器的高度忽略不計）

Answer 1

分析 由于AF⊥AB，則四邊形ABEF為矩形，設(shè)DE=x，在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{tan∠DCE}$=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，在Rt△ABC中，得到$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的長．

解答 解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四邊形ABEF為矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2
設(shè)DE=x，在Rt△CDE中，CE=$\frac{DE}{tan∠DCE}$=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ABC中，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，AB=2，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-2，
∴AF=$\frac{DF}{tan∠DAF}$=$\frac{x-2}{tan30°}$=$\sqrt{3}$（x-2），
∵AF=BE=BC+CE．
∴$\sqrt{3}$（x-2）=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
解得x=6．
答：樹DE的高度為6米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角、坡度問題、矩形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．