Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，且∠A=∠D．
（1）求∠ACD的度數(shù)；
（2）若CD=3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由AO=CO，推出∠A=∠ACO，推出∠COD=2∠A，可得3∠D=90°，推出∠D=30°，即可解決問題
（2）先求△OCD和扇形OCB的面積，進(jìn)而可求出圖中陰影部分的面積．

解答 解：（1）連接OC，
∵過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠D=180°-30°-30°=120°．

（2）由（1）可知∠COD=60°
在Rt△COD中，∵CD=3，
∴OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{60π•（\sqrt{3}）^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}-π}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，掌握過切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用分割法求陰影部分面積．