Question

19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線BF交AD于點E，交AC于點F，F(xiàn)H⊥BC于點H，求證：AE=FH．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線上的點到兩邊的距離相等可得：FH=FA；則只要在確定FA與AE的關(guān)系即可確定AE與FH之間的關(guān)系；在直角三角形AFB中∠AFB+∠ABF=90°，在直角三角形BDE中，∠DEB+∠EBD=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：∠ABF=∠DBE，則∠AFB=∠DEB，又知∠AEF=∠DEB，則∠AFB=∠AEF，所以AE=FA，則AE=FH．

解答 證明：∵BF平分∠ABC，F(xiàn)A⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，
∴FH=FA，
∵∠AFB+∠ABF=90°，∠DEB+∠EBD=90°，且∠ABF=∠EBD，
∴∠AFB=∠DEB，
∵∠AEF=∠DECB，
∴∠AFB=∠AEF，
∴AE=FA，
∴AE=FH．

點評 本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；解題時利用了AF這個中間量進行了等量代換是解答本題的關(guān)鍵．