Question

4．如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，連接DC，過點D作DE⊥MN，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠DCA=22.5°，DE=6，求AB的長度．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE是切線，只要證明∠ODE=90°即可．
（2）只要證明四邊形EDOF是矩形，△OAF是等腰直角三角形，即可即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接OD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠DAM=∠OAD，
∴∠DAM=∠ODA，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ODA+∠ADE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：作OF⊥AB于F．
∵∠ODE=∠DEF=∠OFE=90°，
∴四邊形EDOF是矩形，
∴OF=DE=6，OD∥EF，
∵OD=OC，
∴∠C=∠ODC=22.5°，
∴∠DOA=∠OAF=∠C+∠ODC=45°，
∴△OAF是等腰直角三角形，
∴AF=OF=6，
∵OF⊥AB，
∴AB=2AF=12．

點評 本題考查切線的判定、矩形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是證明△OAF是等腰直角三角形，屬于中考常考題型．