Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的頂點的坐標是，動點從點出發，沿線段向終點運動，同時動點從點出發，沿線段向終點運動．點、的運動速度均為每秒1個單位，過點作交于點，一點到達，另一點即停．設點的運動時間為秒．

（1）填空：用含的代數式表示下列各式

__________，__________．

（2）①當時，求點到直線的距離．

②當點到直線的距離等于時，直接寫出的值．

（3）在動點、運動的過程中，點是矩形（包括邊界）內一點，且以、、、為頂點的四邊形是菱形，直接寫出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3）或；（4），．

【解析】

（1）根據C點坐標（2，4）可知AC=OB=2,AO=BC=4,根據P,Q的運動速度即可表示出AP,CQ的長；

(2)①延長PE交BC于H點，再求出直線AB的解析式，根據求出E點坐標，得到AP的長求出時間t，故可得到Q點坐標，即可求出點到直線的距離；

②分別表示出Q,H的坐標，根據，列出方程即可求解；

（3）分兩種情形依據菱形的鄰邊相等關系構建方程即可解決問題．

（1）∵C（2，4）

∴AC=OB=2,AO=BC=4,

∵動點從點出發，沿線段向終點運動，同時動點從點出發，沿線段向終點運動．點、的運動速度均為每秒1個單位，

∴AP=t，CQ=BC-BQ=4-t，

故答案為：t；4-t；

（2）設直線AB的解析式為y＝kx＋b，把A（0，4），B（2，0）代入得，

解得 ，

∴直線AB的解析式為y＝2x＋4．

∵

∴E（，3）

∴AP=AO-OP=4-3=1=t

∴Q（2，1）,BQ=1

延長PE交BC于H點，∴BH=PO=3

故QH=BH-BQ=3-1=2；

②點到直線的距離等于時，即

由AP=CH=t，BQ=t，

得H(2,4-t)，Q(2,t)

∴

解得或

（3）∵OP=4-t，故E點的縱坐標為4-t，代入直線AB得E（t，4t）

又Q（2，t），

①如圖，當QE＝QB時，可得四邊形EQBH是菱形，

∴EQ2=BQ2

（2t）2＋[t-（4t）]2＝t2，

整理得：13t272t＋80＝0，

解得t＝或4（舍棄），

t=

∴點的橫坐標是；

②當BE＝BQ時，如圖，可得四邊形BQHE是菱形．

EB2=BQ2

（t-2）2＋（4t-0）2＝t2，

整理得：t240t＋80＝0，

解得t＝或（舍棄），

t=

∴點的橫坐標是；

綜上，點的橫坐標是或．