Question

【題目】（1）【特殊發現】如圖1，AB⊥BC于B,CD⊥BC于C,連接BD,過A作AF⊥BD,交BD于E,交BC于F,若BF=1，BC=3，則AB·CD= ；

（2）【類比探究】如圖2，在線段BC上存在點E,F，連接AF,DE交于點H，若∠ABC=∠AHD=∠ECD,求證：AB·CD=BF·CE；

（3）【解決問題】如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC=4，E為AB中點，D為AE中點，過點D作直線DM∥BC,在直線DM上取一點F，連接BF交CE于點H,使∠FHC=∠ABC,問：DF·BC是否為定值？若是，請求出，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）詳見解析；（3）是，DF·BC=12，理由詳見解析.

【解析】試題分析：（1）先由余角的性質得到∠A=∠CBD，從而△ABF∽△BCD,再根據相似三角形的性質列比例式求解；（2）由∠ABC=∠AHD=∠ECD,得到∠AFB=∠EDC,從而△ABF∽△ECD，

再根據相似三角形的性質列比例式求解；（3）法一，在DA的延長線上取一點N，使∠DNF=∠ABC,然后由△FDN∽△ABC和△NFB∽△BEC,得到和，然后整理即可得到結論；法二，取BC的中點K,連接EK,由E為AB中點，然后由△FDB∽△EKC,得到，然后結合法一整理即可得到結論；法三，延長FD,CE交于點G,由法一得：∠ADM=∠AMD,∠ABF=∠ECB,然后由△GMC∽△BDF和△GED∽△CEB,得到和，然后整理即可得到結論；

解： (1) ∵AB⊥BC，AF⊥BD,

∴∠A+∠AFB=90°, ∠CBD+∠AFB=90°,

∴∠A=∠CBD，

又∵∠ABF=∠C,

∴△ABF∽△BCD,

,

∴ AB·CD=BC·BF=3.

(2)容易由∠ABC=∠AHD=∠ECD,得到∠AFB=∠EDC,

從而△ABF∽△ECD，

那么AB·CD=BF·CE；

(3)法一：（模型法）解：是，DF·BC=12，

理由如下：

如圖，在DA的延長線上取一點N，使∠DNF=∠ABC,

由AB=AC,DM∥BC,可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB∠FMC=∠DNF,

∴△FDN∽△ABC，且DF=NF,∴即NF·BC=ND·AB,

又由∠ABC=∠FHC,得∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠ECB,

∴∠ABF=∠ECB,∴△NFB∽△BEC,

∴ 即NF·BC=NB·BE,

∴NB·BE=ND·AB,依題意得：AD=DE=1，BE=2，

∴NB·2=ND·4，∴NB=2ND,∴ND=BD=3，

∴NB=6，∴NF·BC=6×2=12即DF·BC=12。

法二:(平行法)取BC的中點K,連接EK,由E為AB中點，

∴EK AC,得∠ADM=∠ABC=∠EKB,

∴∠BDF=∠EKC,再由法一可知：∠DBF=∠ECB，

∴△FDB∽△EKC,∴,即DF·CK=EK·DB,

由法一得：DB=3，EK=BE=2，CK=BC,

∴DF·BC=2×3，∴DF·BC=12。

法三：延長FD,CE交于點G,由法一得：∠ADM=∠AMD,∠ABF=∠ECB,

∴∠BDM=∠CMD,又∵DF∥BC,∴∠G=∠ECB,∴∠G=∠ABF,

∴△GMC∽△BDF,∴,∴DF·GM=MC·DB=3×3=9，

又∵GD∥BC,DE=1，BE=2，

∴△GED∽△CEB,∴,

同理,∴GM=GD+DM=BC+BC=BC,

∴DF·BC=9，∴DF·BC=12。