Question

【題目】當k值相同時，我們把正比例函數與反比例函數叫做“關聯函數”.

(1)如圖，若k>0，這兩個函數圖象的交點分別為A，B，求點A，B的坐標（用k表示）；

(2)若k=1，點P是函數在第一象限內的圖象上的一個動點（點P不與B重合），設點P的坐標為（），其中m>0且m≠2.作直線PA，PB分別與x軸交于點C，D，則△PCD是等腰三角形，請說明理由；

(3)在(2)的基礎上，是否存在點P使△PCD為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點A坐標為（-k，-1），點B坐標（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形；，理由見解析；（3）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）聯立兩個函數解析式即可；

（2）先求出點C和點D的坐標，然后根據兩點距離公式得到PC=PD即可；

（3）過點P作PH⊥CD于H，根據等腰直角三角形的性質可得CD=2PH，可求m的值；然后再點P不與B重合即可解答．

解：（1）∵兩個函數圖象的交點分別為點A和點B，

∴，解得：或

∴點A坐標為（-k，-1），點B坐標（k，1）；

（2）△PCD是等腰三角形，理由如下：

∵k=1

∴點A和點B的坐標為（-1，-1）和（1，1），

設點P的坐標為（m，）

∴直線PA解析式為：

∵當y=0時，x=m-1，

∴點C的坐標為（m-1，0）

同理可求直線PB解析式為：

∵當y=0時，x=m+1，

∴點D的坐標為（m+1，0）

∴，

∴PC=PD

∴△PCD是等腰三角形；

（3）如圖：過點P作PH⊥CD于H

∵△PCD直角三角形，PH⊥CD，

∴CD=2PH，

∴m+1-（m-1）=2×，解得m=1

∴點P的坐標為（1，1），

∵點B（1，1）與點函數在第一象限內的圖象上的一個動點P不重合

∴不存在點P使△PCD為直角三角形．