Question

如圖（1），BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N．
（1）試說(shuō)明：FG=

1

2

（AB+BC+AC）；
（2）①如圖（2），BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)；②如圖（3），BD為△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，CE為△ABC的外角平分線(xiàn)．
則在圖（2）、圖（3）兩種情況下，線(xiàn)段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，進(jìn)一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG，即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N，與（1）類(lèi)似可以證出答案；
（3）與（1）方法類(lèi)同即可證出答案．

解答：解：（1）證明：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
∴MB=AB，
∴AF=MF，
 同理可說(shuō)明：CN=AC，AG=NG 
∴FG是△AMN的中位線(xiàn)，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（MB+BC+CN）=

1

2

（AB+BC+AC）  

（2）解：圖（2）中，F(xiàn)G=

1

2

（AB+AC-BC）    
圖（3）中，F(xiàn)G=

1

2

（AC+BC-AB）     
①如圖（2），延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N，
由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（BM+CN-BC）=

1

2

（AB+AC-BC），
②如圖（3）延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N，同樣由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG，
∴FG=

1

2

MN=

1

2

（CN+BC-BM）=

1

2

（AC+BC-AB），解答正確一種即可     

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化成三角形的中位線(xiàn)．