Question

【題目】若關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）與y軸交于點C，其圖象的頂點為點M，O是坐標原點．

（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函數的解析式并寫出二次函數的對稱軸；

（2）如圖，若a＞0，b＞0，△ABC為直角三角形，△ABM是以AB＝2的等邊三角形，試確定a，b，c的值；

（3）設m，n為正整數，且m≠2，a＝1，t為任意常數，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果對于一切實數t，AB≥|2t+n|始終成立，求m、n的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3 （2），， （3）m＝3，n＝2或m＝6，n＝1

【解析】

（1）先求出a,再代入y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）可得；（2）根據等腰三角形性質，先求出點A、B、C的坐標分別為（﹣，0）、（，0），（0，﹣），得函數的表達式為：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），即﹣a＝﹣，求出a可得；（3）由y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，得x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，AB＝x2﹣x1＝|mt+3|≥|2t+n|，則m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，由題意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，解得：mn＝6，再分析出正整數解.

解：（1）函數的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

則﹣8a＝3，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3；

（2）如圖所示，△ABC為直角三角形，則∠ACB＝90°，

∵△AMB是等邊三角形，則點C是MB的中點，

則＝MC＝1，則BO＝BC＝，同理OC＝，

OA＝2﹣＝，

則點A、B、C的坐標分別為（﹣，0）、（，0），（0，﹣），

則函數的表達式為：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），

即﹣a＝﹣，解得：a＝，

則函數表達式為：y＝x2+x﹣；

（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，

則x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，

AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，

則m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，

即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，

由題意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，

解得：mn＝6，

故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．