Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，且頂點C在⊙O上，過點B的切線與AC的延長線交于點D，E是BD中點，連接CE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AC＝8，BC＝6，求BD和CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），.

【解析】

（1）連接OC，證∠OCE＝90°即可；

（2）根據勾股定理可得AB=10，再由tanA＝可得BD的長，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質即得CE的長.

（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵BD是⊙O的切線，

∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，

∵E是BD中點，

∴CE＝BD＝BE，

∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，

∴∠ACO＝∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO＝90°，

即∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∵tanA＝，

∴BD＝AB＝，

∴CE＝BD＝．