Question

如圖是二次函數y=ax²+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=1，其與x軸一交點為A（3，0），給出下列說法：①ab＞0；②方程ax²+bx+c=0的根為x₁=-1，x₂=3；③a+b+c＞0；④3a+c=0；⑤不等式ax²+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3．其中，正確的說法有    ．（請寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

【答案】分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答：解：①根據二次函數y=ax²+bx+c的圖象可以得到a＞0，b＜0，則ab＜0，故命題錯誤；
②二次函數y=ax²+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=1，其與x軸一交點為A（3，0），則另一個交點的坐標是：（-1，0），則方程ax²+bx+c=0的根為x₁=-1，x₂=3，故命題正確；
③當x=1時，二次函數y=ax²+bx+c的圖象上對應的點在x軸的下方，則a+b+c＜0，則命題錯誤；
④二次函數y=ax²+bx+c的圖象，其對稱軸為直線x=1，其與x軸一交點為A（3，0），則另一個交點的坐標是：（-1，0），把兩點的坐標代入函數解析式得：，
②×3+①得：12a+4b=0，即3a+b=0，故命題正確；
⑤函數的圖象在（-1，0）與（3，0）之間的部分在x軸的下方，因而等式ax²+bx+c＜0的解集是-1＜x＜3，正確．
故正確的是：②④⑤．
故答案是②④⑤．
點評：主要考查了利用圖象求出a，b，c的范圍，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．