Question

5．如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，以點B為圓心的圓與AD、DC相切，與AB、CB的延長線分別相交于點E、F，則圖中陰影部分的面積為$\frac{π}{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AD與圓的切點為G，連接BG，通過解直角三角形求得圓的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式求得三個扇形的面積，進而就可求得陰影的面積．

解答 解：設(shè)AD與圓的切點為G，連接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，AG=1，
∴圓B的半徑為$\sqrt{3}$，
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
在菱形ABCD中，∠A=60°，則∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S_陰影=2（S_△ABG-S_扇形）+S_扇形FBE=2×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{30π×3}{360}$）+$\frac{120π×3}{360}$=$\frac{π}{2}$+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$+$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)以及扇形面積等知識，正確利用菱形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求出圓的半徑是解題關(guān)鍵．