Question

9．在平面直角坐標系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若將△ABC沿AC所在直線對折，點B落在點E處，則M點的坐標是（3，4），點E的縱坐標（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）．

Answer 1

分析 作△MEC的高線EF，要想求M的坐標就需要求DM的長即可，設DM=x，利用勾股定理列方程可以求出x=3，寫出M的坐標；
要想求E的坐標，就需要求DF和EF的長，利用面積法求EF=$\frac{12}{5}$，則可以求出DF和點E的縱坐標，寫出點E的坐標即可．

解答 解：由對折得：∠BAC=∠CAE，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DCA=∠CAE，
∴AM=CM，
∵B（8，0），D（0，4），
∴AD=4，AB=CD=8，
設DM=x，則AM=CM=8-x，
在Rr△ADM中，DM²+AD²=AM²，
∴x²+4²=（8-x）²，
x=3，
∴DM=3，AM=CM=8-3=5，
∴M（3，4），
過E作EF⊥CD于F，
由折疊得：EC=BC=4，
在Rt△MEC中，ME=3，
∴S_△MEC=$\frac{1}{2}$ME•EC=$\frac{1}{2}$MC•EF，
∴3×4=5EF，
∴EF=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：FM=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴DF=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴E（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$），
故答案為：（3，4）；（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）．

點評 本題考查了矩形的性質和翻折變換問題，明確折疊前后的兩邊及兩角對應相等，并熟練掌握矩形的性質，設未知數，利用勾股定理列方程可以求邊長，另外本題還運用了面積法求直角三角形斜邊上的高．