Question

(1)觀察發現如題(a)圖，若點A，B在直線同側，在直線上找一點P，使AP+BP的值最小． 做法如下：作點B關于直線的對稱點，連接，與直線的交點就是所求的點P 再如題(b)圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小． 做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為       ．  

(2)實踐運用
如題(c)圖，已知⊙O的直徑CD為4，弧AD所對圓心角的度數為60°，點B是弧AD的中點，請你在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

(3)拓展延伸
如題(d)圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留
作圖痕跡，不必寫出作法． 

Answer 1

（1）（1）首先由等邊三角形的性質知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結果，BP+PE的最小值為

（2）如上圖作點B關于CD的對稱點E，則點E正好在圓周上，連接AE交CD與一點P，則AP+BP最短。連接OA、OB、OE，
∵∠AOD=60°，B是弧AD的中點，∴∠AOB=∠DOB=30°，
∵B關于CD的對稱點E，∴∠DOE=∠DOB=30°，∴∠AOE=90°，
又∵OA=OE=2，∴△OAE為等腰直角三角形，∴AE=.
（3）找B關于AC對稱點E，連DE延長交AC于P即可，如下圖分
解析:
（1）首先由等邊三角形的性質知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結果；
（2）要在直徑CD上找一點P，使PA+PB的值最小，設A′是A關于CD的對稱點，連接A′B，與CD的交點即為點P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結果．
（3）畫點B關于AC的對稱點B′，延長DB′交AC于點P．則點P即為所求