Question

在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于E，F兩點，如圖①與②是旋轉三角板所得圖形的兩種情況．
小題1:三角板繞點O旋轉，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即  
給出△OFC是等腰直角三角形時BF的長）；若不能，請說明理由；
小題2:三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系？用圖①或②加以證明；
小題3:若將三角板的直角頂點放在斜邊上的點P處（如圖③），當AP:AC=1:4時，PE和          
PF有怎樣的數量關系？證明你發現的結論．

Answer 1

小題1:△OFC是能成為等腰直角三角形，
①當F為BC的中點時，
∵O點為AC的中點，AB=BC=5， ∴OF∥AB，    ∴CF=OF=，    ∴BF=
②當B與F重合時，   ∵OF=OC=，     ∴BF=0
小題1:如圖一，連接OB，  ∵由（1）的結論可知，BO=OC=，
∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C        ∴△OEB≌△OFC，      ∴OE=OF
小題1:如圖二，過點P作PM⊥AB，PN⊥BC，
∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，       ∴∠EPM=∠FPN，
∵∠EMP=∠FNP=90°，       ∴△PNF∽△PME，     ∴PM：PN=PE：PF，
∵△APM和△PNC為等腰直角三角形，      ∴△APM∽△PNC，    ∴PM：PN=AP：PC，
∵PA：AC=1：4，        ∴AP：PC=1：3，     ∴PE：PF=1：3．

小題1:由題意可知，①當F為BC的中點時，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長度，即可推出BF的長度，②當B與F重合時，根據直角三角形的相關性質，即可推出OF的長度，即可推出BF的長度；
小題1:連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；
小題1:過點P做PM⊥AB，PN⊥BC，結合圖形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，繼而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根據已知條件即可推出PA：AC=PE：PF=1：4．