Question

8．已知在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=$\frac{25}{2}$，O為BC上一點(diǎn)，BO=$\frac{7}{2}$，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線段OC上的一點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點(diǎn)P在y軸上，則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），如圖①，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點(diǎn)P落在長(zhǎng)方形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若將（2）中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為（4，0），其它條件不變，如圖②，那么符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可；
（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）∵以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，點(diǎn)P在y軸上，
∴OP=OM，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
∴OP=OM=1，
∴符合條件的等腰三角形有2個(gè)，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-1）、（0，1）；
（2）由題意得，OM為等腰△OMP的底邊，
則點(diǎn)P在線段OM的垂直平分線上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（$\frac{1}{2}$，4），
則符合條件的等腰三角形有1個(gè)；
（3）如圖，∵OP=OM，
∴OP=4，
∴BP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{7}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
由題意得，P′的坐標(biāo)為（0，4），P′′的坐標(biāo)為（2，4），P′′′的坐標(biāo)為（4，4），
符合條件的等腰三角形有4個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．