Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點O為對角線BD的中點，點P從點A出發，沿折線AD﹣DO﹣OC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．

（1）求點N落在BD上時t的值；

（2）直接寫出點O在正方形PQMN內部時t的取值范圍；

（3）當點P在折線AD﹣DO上運動時，求S與t之間的函數關系式；

（4）直接寫出直線DN平分△BCD面積時t的值．

Answer 1

解：（1）當點N落在BD上時，如圖1．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，

∴．

∴t=．

∴當t=時，點N落在BD上．

 

（2）①如圖2，

則有QM=QP=t，MB=4﹣t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵點O是DB的中點，

∴QM=BM．

∴t=4﹣t．

∴t=2．

②如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴DB=5．

∵點O是DB的中點，

∴DO=．

∴1×t=AD+DO=3+．

∴t=．

∴當點O在正方形PQMN內部時，t的范圍是2＜t＜．

 

（3）①當0＜t≤時，如圖4．

S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．

②當＜t≤3時，如圖5，

∵tan∠ADB==，

∴=．

∴PG=4﹣t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．

∵tan∠NFG=tan∠ADB=，

∴．

∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．

∴S=S_{正方形PQMN}﹣S_△GNF

=t²﹣×（﹣4）×（t﹣3）

=﹣t²+7t﹣6．

③當3＜t≤時，如圖6，

∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．

∴∠PQM=∠DAB=90°．

∴PQ∥AD．

∴△BQP∽△BAD．

∴==．

∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，

∴．

∴BQ=，PQ=．

∴QM=PQ=．

∴BM=BQ﹣QM=．

∵tan∠ABD=，

∴FM=BM=．

∴S=S_梯形PQMF=（PQ+FM）•QM

=[+]•

=（8﹣t）²

=t²﹣t+．

綜上所述：當0＜t≤時，S=t²．

當＜t≤3時，S=﹣t²+7t﹣6．

當3＜t≤時，S=t²﹣t+．

 

（4）設直線DN與BC交于點E，

∵直線DN平分△BCD面積，

∴BE=CE=．

①點P在AD上，過點E作EH∥PN交AD于點H，如圖7，

則有△DPN∽△DHE．

∴．

∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE=，EH=AB=4，

∴．

解得；t=．

②點P在DO上，連接OE，如圖8，

則有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴．

∵DP=t﹣3，DO=，OE=2，

∴PN=（t﹣3）．

∵PQ=（8﹣t），PN=PQ，

∴（t﹣3）=（8﹣t）．

解得：t=．

③點P在OC上，設DE與OC交于點S，連接OE，交PQ于點R，如圖9，

則有OE=2，OE∥DC．

∴△DSC∽△ESO．

∴．

∴SC=2SO．

∵OC=，

∴SO==．

∵PN∥AB∥DC∥OE，

∴△SPN∽△SOE．

∴．

∵SP=3++﹣t=，SO=，OE=2，

∴PN=．

∵PR∥MN∥BC，

∴△ORP∽△OEC．

∴．

∵OP=t﹣，OC=，EC=，

∴PR=．

∵QR=BE=，

∴PQ=PR+QR=．

∵PN=PQ，

∴=．

解得：t=．

綜上所述：當直線DN平分△BCD面積時，t的值為、、．