Question

【題目】如圖，是等邊三角形，點在邊上(點與點不重合) ，過點作交于點，連結，分別為的中點，連結．

（1）求證：

（2）的大小是 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）120°

【解析】

（1）易證△ADE是等邊三角形，可求得，然后利用三角形中位線定理得到，，即可證明；

（2）根據三角形中位線定理和三角形外角的性質求出∠MNE＝∠ABE，∠ENP＝120°－∠ABE，然后根據∠MNP＝∠MNE＋∠ENP計算即可.

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，

∵DE∥AB，

∴∠ABC=∠ADE=60°，∠ACB=∠AED=60°，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE，

∴，

∵M、N分別為DE、BE的中點，

∴，

∵N、P分別為BE、BC的中點，

∴，

∴；

（2）∵M、N、P分別為DE、BE、BC的中點，

∴MN∥AB，NP∥EC，

∴∠MNE＝∠ABE，∠BNP＝∠BEC＝∠A＋∠ABE＝60°＋∠ABE，

∴∠ENP＝180°－∠BNP＝180°－60°－∠ABE＝120°－∠ABE，

∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋120°－∠ABE＝120°，

故答案為：120°.