Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)A(-1，0)，B(4，0)，與軸相交于點(diǎn)C．

（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P（2，m）為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為點(diǎn)Q，連接PC，求線段PQ的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M為該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且∠MAP=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（4，0）.

【解析】

（1）把點(diǎn)A、B代入二次函數(shù)的解析式，求出a、b的值，即可得到答案；

（2）作PN⊥x軸與N，交BC于點(diǎn)G，先求出點(diǎn)P和點(diǎn)C，然后得到直線BC的解析式，從而得到點(diǎn)N和點(diǎn)G的坐標(biāo)，得到PG的長(zhǎng)度，然后利用△PQG∽△BOC，即可求出PQ的長(zhǎng)度；

（3）連接AP，則得到△APN是等腰直角三角形，則∠PAN=45°，則點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)A、B代入拋物線，得

，

解得：，

∴二次函數(shù)的解析式為：；

（2）如圖，作PN⊥x軸與N，交BC于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)P（2，m）在拋物線上，則

，

令x=0，則y=2，

∴點(diǎn)P為（2，3），點(diǎn)C為（0，2），點(diǎn)N為（2，0），

設(shè)直線BC為，則

，解得：，

∴直線BC的解析式為：；

令，，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：（2，1），

∴PG=2，

∵OC∥PN，PQ⊥BC，

∴∠OCB=∠PGQ，∠BOC=∠PQG=90°，

∴△PQG∽△BOC，

∴，

∵BO=4，PG=2，，

∴；

（3）如圖，連接AP，

由（2）可知，點(diǎn)P為（2，3），點(diǎn)N為（2，0），點(diǎn)A為（-1，0），

∴AN=PN=3，

∵PN⊥AN，

∴△APN是等腰直角三角形，

∴∠PAN=45°，

∵點(diǎn)M在拋物線上，且∠MAP=45°，

∴點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，0）；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（4，0）.