Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC內部作△CED，使∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF、AE、EF．

（1）證明：AE=EF；

（2）判斷線段AF，AE的數量關系，并證明你的結論；

（3）在圖（1）的基礎上，將△CED繞點C逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否成立？若成立，結合圖（2）寫出證明過程；若不成立，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF=AE．證明見解析；（3）AF=AE成立．證明見解析.

【解析】

（1）根據△ABC是等腰直角三角形，△CDE是等腰直角三角形，四邊形ABFD是平行四邊形，判定△ACE≌△FDE（SAS），進而得出AE=EF；

（2）根據∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，即可得出△AEF是直角三角形，再根據AE=FE，得到△AEF是等腰直角三角形，進而得到AF=AE；

（3）延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA（SAS），再證明△AEF是等腰直角三角形即可得出結論．

（1）如圖1，

∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴CE=CD，

∵四邊形ABFD是平行四邊形，

∴DF=AB=AC，

∵平行四邊形ABFD中，AB∥DF，

∴∠CDF=∠CAB=90°，

∵∠C=∠CDE=45°，

∴∠FDE=45°=∠C，

在△ACE和△FDE中，

，

∴△ACE≌△FDE（SAS），

∴AE=EF；

（2）AF=AE．

證明：如圖1，∵AB∥DF，∠BAD=90°，

∴∠ADF=90°，

∴Rt△ADF中，∠DAE+∠EAF+∠AFD=90°，

∵△ACE≌△FDE，

∴∠DAE=∠DFE，

∴∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，

即△AEF是直角三角形，

又∵AE=FE，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE；

（3）AF=AE仍成立．

證明：如圖2，延長FD交AC于K．

∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC，

∠ACE=（90°-∠KDC）+∠DCE=135°-∠KDC，

∴∠EDF=∠ACE，

∵DF=AB，AB=AC，

∴DF=AC，

在△EDF和△ECA中，

，

∴△EDF≌△ECA（SAS），

∴EF=EA，∠FED=∠AEC，

∴∠FEA=∠DEC=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=AE．