Question

【題目】如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為．

如圖①，正方形的頂點(diǎn)、在邊上，頂點(diǎn)在邊上，在正三角形及其內(nèi)部，以點(diǎn)為位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；

求中作出的正方形的邊長(zhǎng)；

如圖②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得、在邊上，點(diǎn)、分別在邊、上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析.

【解析】

（1）如答圖①利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，即為所求.（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)即可.（3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n（m≥n），求得面積和的表達(dá)式S= ，①當(dāng)m=n時(shí)，S取得最小值；

②當(dāng)m最大而n最小時(shí)，S取得最大值．結(jié)合第（1）（2）問m最大n最小的情形即可求得S的最大值.

如圖①，正方形即為所求．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，

∵△ABC為正三角形，

∴

∵ ，

∴，

∴，即，（也正確）

如圖②，連接、、，則．

設(shè)正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為、，

它們的面積和為，則，．

∴．

∴，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，

在中，，

∵，即，化簡(jiǎn)得，

∴，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最小，

∴，

②當(dāng)最大時(shí)，最大，

即當(dāng)最大且最小時(shí)，最大，

∵，

由知，，

∴，

，（也正確）

綜上所述，，；