Question

【題目】如圖1，⊿ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt⊿ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q。

（1）求證：⊿AEP≌⊿BAG；

（2）試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖2，若連接EF交GA的延長線于H，由（2）中的結論你能判斷EH與FH的大小關系嗎？并說明理由；

（4）在（3）的條件下，若BC=AG=10，請直接寫出S⊿AEF= .

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）50.

【解析】

（1）根據等腰Rt△ABE的性質，求出∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，∠PEA=∠BAG，根據AAS推出△EPA≌△AGB；（2）根據全等三角形的性質推出EP=AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG=FQ，最后等量代換即可得出答案；（3）求出∠EPH=∠FQH=90°，根據AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH與FH的大小關系；（4）根據全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQAS△AGC，S△FQH=S△EPH，S△EPA=S△AGB，即可求出S△AEF=S△ABC，根據三角形面積公式求出即可．

解：（1）如圖1，∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC，

∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，

∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°，

∴∠PEA=∠BAG，

在△EPA和△AGB中， ，

∴△EPA≌△AGB（AAS），

（2）EP=FQ，

證明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，

∴EP=AG，

同理可得，△FQA≌△AGC，

∴AG=FQ，

∴EP=FQ；

（3）EH=FH，

理由：如圖，∵EP⊥AG，FQ⊥AG，

∴∠EPH=∠FQH=90°，

在△EPH和△FQH中， ，

∴△EPH≌△FQH（AAS），

∴EH=FH．

(4)∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，

∴S△FQA=S△AGC，S△FQH=S△EPH，S△EPA=S△AGB，

∴S△AEF=S△EPA+S△FQA=S△AGB+S△AGC=S△ABC=×BC×AG=×10×10=50．
故答案為：50．