Question

【題目】探究：已知，如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是線段AB上一個動點．

（1）畫出點D關于直線AC、BC的對稱點M、N；

（2）在（1）的條件下，連接MN

①求證：M、C、N三點在同一條直線上；

②求MN的最小值．

應用：已知，如圖2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面積為S，點D、E、F分別是AB、AC、BC上三個動點，請用含S的代數式直接表示△DEF的周長的最小值，并在圖2中畫出符合題意的圖形．

Answer 1

【答案】探究：（1）見解析；（2）①證明見解析；②MN的最小值是；應用：△DEF的周長的最小值為，畫出符合題意的圖形見解析.

【解析】

（1）根據對稱點的作法作圖即可；

（2）①利用對稱的性質結合∠ACB＝90°證明∠MCN＝180°即可；

②由題意可知MN＝2CD，所以當CD⊥AB時，CD的值最小，再利用面積法求解即可；

應用：如圖2中，設D是AB上任意一點，作點D關于直線AC的對稱點D′，點D關于直線BC的對稱點D″，連接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．由△DEF的周長＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，推出CD的值最小時，△DEF的周長最小，由此即可解決問題.

探究：（1）解：如圖1中，點M，N即為所求；

（2）①證明：連接CD、CM、CN，

由對稱的性質可知：∠ACD＝∠ACM，∠BCD＝∠BCN，

∵∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠MCD+∠NCD＝2（∠ACD+∠BCD）＝180°，

∴M、C、N三點在同一條直線上；

②解：∵CM＝CD，CN＝CD，

∴MN＝CM+CN＝2CD，

∴當CD最短時，MN的值最小，

∵CD⊥AB時，垂線段最短，

∴CD的最小值＝，

∴MN的最小值是；

應用：解：如圖2中，設D是AB上任意一點，作點D關于直線AC的對稱點D′，點D關于直線BC的對稱點D″，連接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．

由對稱的性質可知：CD＝CD′＝CD″，ED＝ED′，FD＝FD″，∠ACD＝∠ACD′，∠BCD＝∠BCD″，

∴∠D′CD″＝2∠ACB＝60°，

∴△D′CD″是等邊三角形，

∴D′D″＝CD′＝CD，

∵△DEF的周長＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，

∴CD的值最小時，△DEF的周長最小，

所以當CD與CH重合時，CD的值最小，

∵ABCH＝S，即，

∴CH＝，

∴△DEF的周長的最小值為．