Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點P是CD邊上一動點，連接PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①。

（1）請探究BE、DF、EF這三條線段的長度具有怎樣的數量關系？并說明理由。

（2）若點P在DC的延長線上，如圖②，那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數量關系？直接寫出結論。

（3）若點P在CD的延長線上呢，如圖③，直接寫出結論。

Answer 1

【答案】（1）EF=BE-DF；（2）EF=DF-BE；（3）EF=BE+DF.

【解析】

（1）在圖①中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：BE-DF=EF，理由為：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一對直角相等，再由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，且∠BAD為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ABE與三角形DFA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AF，AE=DF，根據AF-AE=EF，等量代換即可得證；

（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：EF=DF-BE，理由同（1）；

（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：EF=BE+DF，理由同（1）．

解：（1）∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AF-AE=EF，

∴EF=BE-DF．

（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：EF=DF-BE；；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴EF=DF-BE；．

（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：EF=BE+DF.，

理由為：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE+AF=EF，

∴EF=BE+DF.．