Question

15．（1）觀察探索：
$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$=$\sqrt{\frac{4×2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，即$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=$\sqrt{\frac{27}{10}}$=$\sqrt{\frac{9×3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$，即$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$
（2）大膽猜想：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$等于多少？
（3）靈活運用：再舉一個例子并通過計算驗證：猜想并寫出一般表達式．

Answer 1

分析 （1）觀察已知等式，做出探索；
（2）根據已知等式做出猜想即可；
（3）舉一個例子，驗證，歸納總結得到一般性規律，寫出即可．

解答 解：（1）觀察探索：
$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$=$\sqrt{\frac{4×2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$，即$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$；
$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=$\sqrt{\frac{27}{10}}$=$\sqrt{\frac{9×3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$，即$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$；
（2）根據題意猜想得：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$=5$\sqrt{\frac{5}{26}}$；
（3）$\sqrt{6-\frac{6}{37}}$=$\sqrt{\frac{6×37-6}{37}}$=$\sqrt{\frac{6×36}{37}}$=6$\sqrt{\frac{6}{37}}$，得到一般性規律為$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$（n為正整數）．

點評 此題考查了算術平方根，弄清題中的規律是解本題的關鍵．