Question

10．“雙十一”淘寶網(wǎng)銷售一款工藝品，每件成本是50元，當(dāng)銷售單價(jià)為100元時(shí)，每天的銷售量是50件而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．設(shè)當(dāng)銷售單價(jià)為x元，每天的銷售利潤(rùn)為y元．
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x=70元時(shí)，網(wǎng)店既能讓利顧客，又能每天獲得4000元的銷售利潤(rùn)？
（3）如果每天的銷售利潤(rùn)不超過(guò)7000元，則當(dāng)x取何值時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量”可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）相等關(guān)系列一元二次方程求解，結(jié)合題意取舍可得；
（3）由“每天的銷售成本不低于7000元”求得x的范圍，將（1）函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]
=（x-50）（-5x+550）
=-5x²+800x-27500，
∴y=-5x²+800x-27500（50≤x≤100）；

（2）當(dāng)y=4000時(shí)，-5（x-80）²+4500=4000，
解得x₁=70，x₂=90，
∵網(wǎng)店既能讓利顧客，又能每天獲得4000元的銷售利潤(rùn)，
∴x=70，
故答案為：70．


（3）∵每天的總成本不低于7000元，
∴-5x²+800x-27500≤7000，
解得x≥82，
由（1）知50≤x≤100，
∴82≤x≤100，
∵y=-5x²+800x-27500=-5（x-80）²+4500，
∴當(dāng)x＞80時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=82時(shí)，y最大=-5×（82-80）²+4500=4480，
答：x=82時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是4480元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用與一元二次方程的應(yīng)用，理解題意確定相等關(guān)系，并據(jù)此列出函數(shù)解析式和方程式解題的關(guān)鍵．