Question

【題目】已知：有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，且|c|>|a|．

（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反數是30，求a、b、c的值；

（2）在（1）的條件下，a、b、c分別是A、B、C點在數軸上所對應的數，

①線段AC的長是________，將數軸折疊使得點A和點C重合，則折痕處在數軸上表示的數是__________

②數軸上是否存在一點P，使得P點到C點的距離加上P點到A點的距離減去P點到B點的距離為50，即PC+PAPB=50?若存在，求出P點在數軸上所對應的數；若不存在，請說明理由；

③點C，B分別以4個單位/秒和3個單位/秒的速度同時向右運動，點A以7個單位/秒的速度向右運動，是否存在常數m，使得3CA+2mOB-mOA為定值，若存在，請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2) ①40，-10；②存在；-90或；（2）存在m=9，定值是390.

【解析】

（1）利用絕對值的性質和數軸即可求出a，利用b2=400和數軸即可求出b，利用c的相反數即可求出c；

（2）①利用數軸上兩點之間的距離公式即可求出AC，再利用中點公式即可求出折痕所表示的數；

②設P表示的數為，根據P點不同的位置及數軸上兩點的距離公式分類討論即可；

③設運動時間為t，利用數軸上兩點之間的距離公式，表示出CA、OB、OA，將它們代入3CA+2mOB-mOA并化簡，再根據其為定值，即與t值無關，令t的系數為0即可.

解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反數是30

解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30

由數軸可知：a＞0，b＞0

∴a＝10，b＝20，c＝﹣30

（2）①根據數軸上兩點之間的距離公式：AC=| a－c|=40；

若A、C兩點重合，則折痕在數軸上所表示的點即為AC的中點，故折痕處在數軸上表示的數是；

②存在，求法如下

假設P點所表示的數為，

當P在C左側時，即，如下圖所示：

∴PC=﹣30－，PA=10－，PB=20－

根據PC+PAPB=50，

∴（﹣30－）＋（10－）－（20－）=50

解得：.

若P在C、A之間時，即，如下圖所示：

∴PC=，PA=10－，PB=20－

根據PC+PAPB=50

（）＋（10－）－（20－）=50

解得：，不符合前提，故舍去；

若P在A、B之間時，即，如下圖所示：

∴PC=，PA=，PB=20－

根據PC+PAPB=50

（）＋（）－（20－）=50

解得：；

若P在B右側時，即，如下圖所示：

∴PC=，PA=，PB=

根據PC+PAPB=50

（）＋（）－（）=50

解得：，不符合前提，故舍去；

綜上所述：P點在數軸上所對應的數是：-90或.

③存在，理由如下：

設運動時間為t，此時C表示的數為：﹣30＋4t，A表示的數為：10＋7t，B表示的數為20＋3t.

∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得：

原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t）

=（9－m）t＋120＋30m

∵3CA+2mOB-mOA為定值，即與t值無關，令t 的系數為0即可，

∴9－m=0，解得：

m=9，代入得：

定值=120＋30×9=390.