Question

（2013•歷城區三模）（1）如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BE=DF，連接AE、CF．請你猜想：AE與CF有怎樣的數量關系？并對你的猜想加以證明．
（2）如圖2所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形．若AB=2，求△ABC的周長．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的對邊平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，然后利用兩直線平行，內錯角相等可得∠ABE=∠CDF，再利用“邊角邊”證明△ABE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據等邊三角形的性質可得∠B=60°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠C=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，最后根據三角形的周長定義列式計算即可得解．

解答：解：AE=CF．
理由如下：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF；

（2）∵△ABD是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴BC=2AB=2×2=4，
根據勾股定理，AC=

BC2-AB2

=

42-22

=2

3

cm，
∴△ABC的周長=AB+BC+AC=2+4+2

3

=（6+2

3

）cm．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，求邊相等，證明兩邊所在的三角形全等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用．