Question

（2013•歷城區三模）如圖，在斜邊長為1的等腰直角三角形OAB中，作內接正方形A₁B₁D₁C₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中作內接正方形A₂B₂D₂C₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中作內接正方形A₃B₃D₃C₃；…；依次做下去，則第n個正方形A_nB_nD_nC_n的邊長是

1

3n

．

Answer 1

分析：過O作OM垂直于AB，交AB于點M，交A₁B₁于點N，由三角形OAB與三角形OA₁B₁都為等腰直角三角形，得到M為AB的中點，N為A₁B₁的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出OM為AB的一半，由AB=1求出OM的長，再由ON為A₁B₁的一半，即為MN的一半，可得出ON與OM的比值，求出MN的長，即為第1個正方形的邊長，同理求出第2個正方形的邊長，依此類推即可得到第n個正方形的邊長．

解答：解：過O作OM⊥AB，交AB于點M，交A₁B₁于點N，如圖所示：
∵A₁B₁∥AB，
∴ON⊥A₁B₁，
∵△OAB為斜邊為1的等腰直角三角形，
∴OM=

1

2

AB=

1

2

，
又∵△OA₁B₁為等腰直角三角形，
∴ON=

1

2

A₁B₁=

1

2

MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1個正方形的邊長A₁C₁=MN=

2

3

OM=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
同理第2個正方形的邊長A₂C₂=

2

3

ON=

2

3

×

1

6

=

1

32

，
則第n個正方形A_nB_nD_nC_n的邊長為：

1

3n

．
故答案為：

1

3n

．

點評：此題考查了等腰直角三角形的性質，以及正方形的性質，屬于一道規律型的題，熟練掌握等腰直角三角形的性質是解本題的關鍵．