Question

（2013•歷城區三模）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=2，AB=4，BC=5，點P為AB邊上一動點，連接PC、PD，若△PCD為直角三角形，則滿足條件的點P有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：首先過點D作DE⊥BC于點E，可求得CD的長，然后分別從當∠CPD=90°時與當∠PDC=90°時，去分析求解即可求得答案．

解答：解：過點D作DE⊥BC于點E，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB=4，BE=AD=2，
∴CE=BC-BE=3，
∴CD=5；
①當∠CPD=90°時，
則∠APD+∠BPC=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∴△APD∽△BCP，
∴

AP

BC

=

BP

AD

，
設AP=x，
則BP=AB-AP=4-x，
則

x

5

=

2

4-x

，
此時無解；
②若∠PDC=90°，
則PD²=AD²+AP²=4+x²，PC²=PB²+BC²=25+（4-x）²，
∵CD²+PD²=PC²，
∴4+x²+25=25+（4-x）²，
解得：x=1.5．
故選A．

點評：此題考查了梯形的性質、矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．