Question

已知任意三角形ABC，其面積為S．作BC的平行線與AB、AC分別交于D、E．設三角形BDE的面積為M，求證：M≤

1

4

S．

Answer 1

分析：由于△ADE與△BDE是等高的三角形，可得

M

S△ADE

=

BD

AD

，同理亦可得

S△ADE

S△ABE

=

AD

AB

，

S△ABE

S

=

AE

AC

再由平行線分線段成比例的性質可得M與S的關系，進而即可求解．

解答：證明：由于△ADE與△BDE是等高的三角形，
故

M

S△ADE

=

BD

AD

=

AB-AD

AD

=

AB

AD

-1(1)
又△ADE與△ABE也是等高三角形，
故

S△ADE

S△ABE

=

AD

AB

（2）
同理，

S△ABE

S

=

AE

AC

（3）
又DE∥BC，故

AD

AB

=

AE

AC

，設此比值為x
將（1），（2），（3）式相乘，
得

M

S

=(

AB

AD

-1)•

AD

AB

•

AE

AC

=(1-

AD

AB

)

AD

AB

即

M

S

=(1-x)x
法一：展開得Sx²-Sx+M=0有實根，
故△=S²-4SM≥0
解之得M≤

1

4

S
法二：由

M

S

=(1-x)x=

1

4

-(x-

1

2

)2 ≤

1

4

  ?M≤

1

4

S．

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質以及三角形的面積問題，能夠熟練求解．