Question

8．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點C處，此時點C落在點D處，延長AD與BC的延長線相交于點E，則DE的長為3$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 作CH⊥AE于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=75°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB=6，∠CAD=∠BAC=30°，則利用三角形外角性質(zhì)可計算出∠E=45°，接著在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CH=$\frac{1}{2}$AC=3，AH=$\sqrt{3}$CH=3$\sqrt{3}$，所以DH=AD-AH=6-3$\sqrt{3}$，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=3，于是可得DE=EH-DH=3$\sqrt{3}$-3．

解答 解：作CH⊥AE于H，如圖，
∵AB=AC=6，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在點C處，此時點C落在點D處，
∴AD=AB=6，∠CAD=∠BAC=30°，
∵∠ACB=∠CAD+∠E，
∴∠E=75°-30°=45°．
在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=3，AH=$\sqrt{3}$CH=3$\sqrt{3}$，
∴DH=AD-AH=6-3$\sqrt{3}$，
在Rt△CEH中，∵∠E=45°，
∴EH=CH=3，
∴DE=EH-DH=3-（6-3$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-3．
故答案為3$\sqrt{3}$-3．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)．