Question

如圖（1）正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不運動到點M，點C），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交AD于點F，切點為E．
（1）求四邊形CDFP的周長；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC，FP相交于點G，連接OE并延長交直線DC于H〔如圖（2）〕．問是否存在點P，使△EFO∽△EHG（其中△EFO頂點E、F、O與△EHG頂點E、H、G為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切線，（1分）
又∵PF是⊙O的切線，
∴FE=FA，PE=PB，（1分）
∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=6；（1分）

（2）如圖1，連接OE，∵PF是⊙O的切線
∴OE⊥PF（1分）
在Rt△AOF和Rt△EOF中，
∵AO=EO，OF=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△EOF，
∴∠AOF=∠EOF（1分）
同理∠BOP=∠EOP，
∴∠EOF+∠EOP=

1

2

×180°=90°，（1分）
∵PF是⊙O的切線，
∴OE⊥PF，
∴Rt△EOF∽Rt△EPO
∴OE²=EP•EF，即OE²=PB•AF，（1分）即1²=x•y，
∴y=

1

x

，（1分）自變量x的取值范圍是1＜x＜2；（1分）

（3）存在．理由如下：
如圖2，
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，（1分）
當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此時在Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=

3

3

，（1分）即x=

1

y

=

3

（1分）
解得：x=

3

，y=

3

3

，
∴當x=

3

，y=

3

3

時，△EFO∽△EHG．