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14、古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16 …這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．下列等式中，符合這一規律的是
③
（填序號）
①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31．
分析：本題先根據已知條件，得出自然數是 1 2 3 4  5  6  7，三角數是1 3 6 10 15 21 28，再從中找出規律，即可找出結果．
解答：解：其實三角形數是這樣的
自然數是 1 2 3 4  5  6  7
三角形數 1 3 6 10 15 21 28
第幾個三角數就是它的位置之前的自然數和本身之和
正方形數 1 4 9 16 25 36 49
故答案為③
點評：本題主要考查了圖形的變化類問題，在解題時要找出規律是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

18、古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、16┅這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．
請再寫出一個符合這一規律的等式：
25=10+15（答案不唯一）
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•澄海區模擬）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …，這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…，這樣的數稱為“正方形數”．
（1）第5個三角形數是
15
15
，第n個“三角形數”是
n(n+1)
2
n(n+1)
2
，第5個“正方形數”是
25
25
，第n個正方形數是
n2
n2
；
（2）經探究我們發現：任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④
25=10+15
25=10+15
，⑤
36=15+21
36=15+21
，…．
請寫出上面第4個和第5個等式；
（3）在（2）中，請探究第n個等式，并證明你的結論．

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科目：初中數學 來源： 題型：

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數稱為“三角形數”（如圖①），而把1，4，9，16，…這樣的數稱為“正方形數”（如圖②）． 如果規定a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…；b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，…；y1=2a1+b1，y2=2a2+b2，y3=2a3+b3，y4=2a4+b4，…，那么，按此規定，y6=
78
78
，yn=
2n2+n
2n2+n
（用含n的式子表示，n為正整數）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數稱為“三角數”；把1，4，9，16，…這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以寫成兩個相鄰的“三角形數”之和，“正方形數”36可以寫成兩個相鄰的“三角形數”
15
15
與
21
21
之和；“正方形數”n2可以寫成兩個相鄰的“三角形數”
n(n-1)
2
n(n-1)
2
與
n(n+1)
2
n(n+1)
2
之和，其中n為大于1的正整數．

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科目：初中數學 來源： 題型：

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1，4，9，16…這樣的數稱為“正方形數”．觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規律：
（1）下圖反映了任何一個三角形數是如何得到的，認真觀察，并在④后面的橫線上寫出相應的等式；

①1=1
②1+2=
(1+2)×2
2
=3
③1+2+3=
(1+3)×3
2
=6
④
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
1+2+3+4=
(1+4)×4
2
；
（2）通過猜想，寫出（1）中與第九個點陣相對應的等式
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
1+2+3+…+9=
(1+9)×9
2
；
（3）從下圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．結合（1）觀察下列點陣圖，并在⑤看面的黃線上寫出相應的等式．

①1=12
②1+3=22
③3+6=32
④6+10=42
⑤
10+15=52
10+15=52
；
（4）通過猜想，寫出（3）中與第n個點陣相對應的等式
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
(1+n-1)(n-1)
2
+
(1+n)×n
2
=n2
；
（5）判斷225是不是正方形數，如果不是，說明理由；如果是，225可以看作哪兩個相鄰的“三角形數”之和？

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