Question

（2013•澄海區模擬）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …，這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…，這樣的數稱為“正方形數”．
（1）第5個三角形數是

15

，第n個“三角形數”是

n(n+1)

2

，第5個“正方形數”是

25

，第n個正方形數是

n²

；
（2）經探究我們發現：任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④

25=10+15

，⑤

36=15+21

，…．
請寫出上面第4個和第5個等式；
（3）在（2）中，請探究第n個等式，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）觀察發現，第5個三角形數等于第4個三角形數加上5，即為15，第n個“三角形數”等于第（n-1）個“三角形數”加上n，即為1+2+3+…+n，計算即可；第5個“正方形數”是5²，第n個正方形數是n²；
（2）根據①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4個等式為第5個三角形數等于第4個三角形數加上第5個三角形數，第5個等式為第6個三角形數等于第5個三角形數加上第6個三角形數；
（3）第n個等式為第（n+1）個“三角形數”等于第n個“三角形數”加上第（n+1）個“三角形數”．

解答：解：（1）15，

n(n+1)

2

，25，n²；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）(n+1)2=

n(n+1)

2

+

(n+1)(n+2)

2

，
∵右邊=

n2+n

2

+

n2+3n+2

2

=

2n2+4n+2

2

=n²+2n+1=（n+1）²=左邊，
∴原等式成立．
故答案為15，

n(n+1)

2

，25，n²；25=10+15，36=15+21．

點評：本題考查了整式的混合運算及規律型：數字的變化類，首先要觀察出“三角形數”和“正方形數”的變化規律，再根據規律解題．