Question

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1，4，9，16…這樣的數稱為“正方形數”．觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規律：
（1）下圖反映了任何一個三角形數是如何得到的，認真觀察，并在④后面的橫線上寫出相應的等式；

①1=1
②1+2=

(1+2)×2

2

=3
③1+2+3=

(1+3)×3

2

=6
④

1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；
（2）通過猜想，寫出（1）中與第九個點陣相對應的等式

1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；
（3）從下圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．結合（1）觀察下列點陣圖，并在⑤看面的黃線上寫出相應的等式．

①1=1²
②1+3=2²
③3+6=3²
④6+10=4²
⑤

10+15=5²

；
（4）通過猜想，寫出（3）中與第n個點陣相對應的等式

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²

；
（5）判斷225是不是正方形數，如果不是，說明理由；如果是，225可以看作哪兩個相鄰的“三角形數”之和？

Answer 1

分析：（1）根據計算方法寫出即可；
（2）根據求解規律，用點陣的序數乘比序數大1的數，再除以2即可；
（3）根據（1）中三角形數的規律寫出即可；
（4）用第（n-1）個三角形數加上第n個三角形數，整理即可得解；
（5）把225代入第n個點陣的表達式，計算即可得解．

解答：解：（1）④1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；

（2）第九個點陣相應的等式：1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；

（3）⑤10+15=5²；

（4）第n個點陣相對應的等式：

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²；

（5）∵225=15²，
∴225是正方形數，
可以看作是14、15兩個相鄰的三角形數的和．
故答案為：（1）1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；（2）1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；（3）10+15=5²；（4）

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²．

點評：本題是對數字變化規律的考查，對圖形變化規律的考查，仔細觀察圖形以及三角形數的定義和求解方法，理解題目信息是解題的關鍵．