Question

17．如圖，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，AD⊥BC，垂足為D，$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，BE分別交AD、AC于點(diǎn) F、G．
（1）證明：FA=FG；
（2）若BD=DO=2，求弧EC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．
（2）根據(jù)BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60°，再根據(jù)$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，求出∠EOC=60°，即可求出$\widehat{EC}$的長(zhǎng)度是多少．

解答 （1）證明：∵BC 是⊙O 的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠AGB=90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°；
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，
∴∠C=∠ABE，
∴∠AGB=∠CAD，
∴FA=FG．

（2）解：如圖，連接AO、EO，
，
∵BD=DO=2，AD⊥BC，
∴AB=AO，
∵AO=BO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AOE=60°，
∴∠EOC=60°，
∴$\widehat{EC}$的弧長(zhǎng)=2π×（2×2）×$\frac{60}{360}$=$\frac{4}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓周角定理和應(yīng)用，以及弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，要熟練掌握．