Question

【題目】如圖，直線y=x+b與雙曲線y=（k是常數，k≠0）在第一象限內交于點A（1，2），且與x軸、y軸分別交于B，C兩點．點P在x軸．

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）若△BCP的面積等于2，求P點的坐標；

（3）求PA+PC的最短距離．

Answer 1

【答案】（1）直線的解析式為y=x+1；（2）P點的坐標為（3，0）或（﹣5，0）；（3）

【解析】試題分析：（1）把A（1，2）代入雙曲線以及直線y=x+b，分別可得k，b的值；

（2）先根據直線解析式得到BO=CO=1，再根據△BCP的面積等于2，即可得到P的坐標．

（3）作C關于x軸的對稱點C′，此時PA+PC最短，最短距離可利用勾股定理求得．

試題解析：解：（1）把A（1，2）代入雙曲線y=，可得：k=2，∴雙曲線的解析式為y=；

把A（1，2）代入直線y=x+b，可得：b=1，∴直線的解析式為y=x+1；

（2）設P點的坐標為（x，0），在y=x+1中，令y=0，則x=﹣1；令x=0，則y=1，∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO．∵△BCP的面積等于2，∴BP×CO=2，即|x﹣（﹣1）|×1=2，解得：x=3或﹣5，∴P點的坐標為（3，0）或（﹣5，0）．

（3）如圖，作C關于x軸的對稱點C′，則C（0，﹣1）．

此時PA+PC最短，最短距離是．