Question

【題目】如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交 AD，BC 于點 E，F．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）當 EF 與 AC 滿足什么條件時，四邊形 AECF 是菱形?并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當EF⊥AC時，四邊形 AECF 是菱形，理由見解析

【解析】

（1）連接AF，CE，證明△AOE≌△COF，得到AE=CF，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可得出結論．

（1）如圖，連接AF，CE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC

∴∠AEO=∠CFO

又∵點O為AC的中點

∴OA=OC

在△AOE和△COF中，

∵∠AEO=∠CFO，∠AOE=∠COF，OA=OC

∴△AOE≌△COF（AAS）

∴AE=CF

又∵AE∥CF

∴四邊形AECF是平行四邊形

（2）當EF⊥AC時，四邊形 AECF 是菱形，理由如下：

∵四邊形AECF是平行四邊形，EF⊥AC

∴四邊形 AECF 是菱形