Question

5．已知AB是圓O的直徑，點C，P在圓O上，PB=2$\sqrt{3}$，∠ABP=30°，PC=BC，則△PBC的面積為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖1，連接PA，過C作CD⊥PB于D，根據垂徑定理得到PD=BD=$\sqrt{3}$，解直角三角形得到CD=1，于是得到△PBC的面積=$\frac{1}{2}$PB•CD=$\sqrt{3}$；如圖2，連接PA，過C作CD⊥PB于D，根據等腰三角形的性質得到PD=BD=$\sqrt{3}$，解直角三角形得到CD=3，于是得到△PBC的面積=$\frac{1}{2}$PB•CD=3$\sqrt{3}$．

解答 解：如圖1，
連接PA，過C作CD⊥PB于D，
∴PD=BD=$\sqrt{3}$，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
∵∠ABP=30°，
∴∠A=60°，
∵PC=PB，
∴∠CPB=∠CBP=30°，
∴CD=1，
∴△PBC的面積=$\frac{1}{2}$PB•CD=$\sqrt{3}$；
如圖2，連接PA，過C作CD⊥PB于D，
∵PC=PB，
∴PD=BD=$\sqrt{3}$，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
∵∠ABP=30°，
∴∠A=60°，
∴∠PCB=∠A=60°，
∴CD=3，
∴△PBC的面積=$\frac{1}{2}$PB•CD=3$\sqrt{3}$；
綜上所述：△PBC的面積為$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題考查了圓周角定理三角形的面積的計算，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．