Question

如圖，線段AD=5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上一動點，CD的垂直平分線分別交CD，AD于點E，B，連接BC，AC，構成△ABC，設AB=x．
（1）求x的取值范圍；
（2）若△ABC為直角三角形，則x=______；
（3）設△ABC的面積的平方為W，求W的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5-x，又由，⊙A的半徑為1，根據三角形三邊關系，即可求得x的取值范圍；
（2）分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識，借助于方程即可求得x的值；
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，設CF=h，AF=m，則W=（xh）²=x²h²，由AC²-AF²=BC²-BF²，則1-m²=（5-x）²-（x-m）²，分別從2.4＜x＜3時與2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．
解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，
∴BC=BD=5-x，在△ABC中，AC=1，
∴（5-x）-1＜x＜1+（5-x），
解得：2＜x＜3；

（2）∵△ABC為直角三角形，
若AB是斜邊，則AB²=AC²+BC²，
即x²=（5-x）²+1，
∴x=2.6；
若BC是斜邊，則BC²=AB²+AC²，
即（5-x）²=x²+1，
∴x=2.4．
故答案為：2.4或2.6．

（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，
設CF=h，AF=m，則W=（xh）²=x²h²，
①如圖，當2.4＜x＜3時，AC²-AF²=BC²-BF²，則1-m²=（5-x）²-（x-m）²，
得：m=，
∴h²=1-m²=，
∴W=x²h²=-6x²+30x-36，
即W=-6（x-）²+，
當x=2.5時（滿足2.4＜x＜3），W取最大值1.5；
②當2＜x≤2.4時，同理可得：W=-6x²+30x-36=-6（x-）²+，
當x=2.4時，W取最大值1.44＜1.5，
綜合①②得，W的最大值為1.5．
點評：此題考查了三角形三邊關系，線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質以及二次函數的最值問題等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合與分類討論思想的應用．