Question

【題目】已知：如圖，矩形ABCD的一條邊AB=10，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，折痕為AO．

（1）求證：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）8

【解析】

(1)根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可判定.(2)根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方,得到AD=2PC,設PC=x,則AD=2x,在RT△ADP中利用勾股定理即可解決問題.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，

由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，

∴∠APO=90°，

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，

∴△OCP∽△PDA．

（2）解：∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴==，

∴DA=2CP．設PC=x，則AD=2x，PD=10﹣x，AP=AB=10，

在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD 2+AD2=AP2，

∴（10﹣x）2+（2x）2=102，

解得：x=4，

∴AD=2x=8．