Question

如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F(xiàn)．

（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則的值為 ；

（2）現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當60°＜α＜90°，且使AP:PC=1:2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）;（2）;（3）變化了，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；

（2）如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結(jié)論，求得的值；

（3）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得的值；然后證明△PME∽△PNF，從而由求得的值．與（1）（2）問相比較，的值發(fā)生了變化．

試題解析：（1）∵矩形ABCD，

∴AB⊥BC，PA=PC；

∵PE⊥AB，BC⊥AB，

∴PE∥BC，

∴∠APE=∠PCF；

∵PF⊥BC，AB⊥BC，

∴PF∥AB，

∴∠PAE=∠CPF．

∵在△APE與△PCF中，

∴△APE≌△PCF（ASA），

∴PE=CF．

在Rt△PCF中，，

∴．

（2）如圖1，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠PME=∠PNF=90°，

∴△PME∽△PNF，

∴．

由（1）知，，

∴．

（3）答：變化．

證明：如圖2，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，

∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，

∴△APM∽△PCN，

∴，得CN=2PM．

在Rt△PCN中，，

∴．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠PME=∠PNF=90°，

∴△PME∽△PNF，

∴

∴的值發(fā)生變化．

考點：幾何變換綜合題．