Question

17．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：
①∠EBG=45°；
②AG+DF=FG；
③△DEF∽△ABG；
④S_△ABG=1.5S_△FGH．
其中正確的是①②④．（把所有正確結論的序號都選上）

Answer 1

分析 利用折疊性質得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，則可得到∠EBG=$\frac{1}{2}$∠ABC，于是可對①進行判斷；在Rt△ABF中利用勾股定理計算出AF=8，則DF=AD-AF=2，設AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x²+4²=（8-x）²，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可對②進行判斷；接著證明△ABF∽△DFE，利用相似比得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{4}{3}$，而$\frac{AB}{AG}$=$\frac{6}{3}$=2，所以$\frac{AB}{AG}$≠$\frac{DE}{DF}$，所以△DEF與△ABG不相似，于是可對③進行判斷；分別計算S_△ABG和S_△GHF可對④進行判斷．

解答 解：∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，
∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，
∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=$\frac{1}{2}$∠CBF+$\frac{1}{2}$∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，所以①正確；
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
設AG=x，則GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，
在Rt△GFH中，∵GH²+HF²=GF²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
∴GF=5，
∴AG+DF=FG=5，所以②正確；
∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠EFD+∠AFB=90°，
而∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AF}{DE}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
而$\frac{AB}{AG}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴$\frac{AB}{AG}$≠$\frac{DE}{DF}$，
∴△DEF與△ABG不相似；所以③錯誤．
∵S_△ABG=$\frac{1}{2}$×6×3=9，S_△GHF=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△ABG=1.5S_△FGH．所以④正確．
故答案為①②④．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；在利用相似三角形的性質時，主要利用相似比計算線段的長．也考查了折疊和矩形的性質．