Question

已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，－n）作NC∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．

（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)是（－8，0），求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k的值．

（2）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

（3）設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

Answer 1

解：（1）∵D（－8，0），∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－8，代入中，得y=－2．

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（－8，－2）．而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴A（8，2）．

從而．

（2）∵N（0，－n），B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，

∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．

S_矩形DCNO，S_△DBO=，S_△OEN =，

∴S_{四邊形OBCE}= S_矩形DCNO－S_△DBO－ S_△OEN=k．∴．

由直線及雙曲線，得A（4，1），B（－4，－1），

∴C（－4，－2），M（2，2）．

設(shè)直線CM的解析式是，由C、M兩點(diǎn)在這條直線上，

得   解得．

∴直線CM的解析式是．

（3）如圖，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁．

設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－a．

于是．

同理，

∴．