Question

已知雙曲線與直線相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，－n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C．
（1）若點D坐標是（－8，0），求A、B兩點坐標及k的值．
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．
（3）設直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

Answer 1

解：（1）∵D（－8，0），∴B點的橫坐標為－8，代入中，得y=－2．
∴B點坐標為（－8，－2）．而A、B兩點關于原點對稱，∴A（8，2）．
從而．
（2）∵N（0，－n），B是CD的中點，A、B、M、E四點均在雙曲線上，
∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．
S_矩形DCNO，S_△DBO=，S_△OEN =，
∴S_{四邊形OBCE}= S_矩形DCNO－S_△DBO－ S_△OEN=k．∴．
由直線及雙曲線，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．
設直線CM的解析式是，由C、M兩點在這條直線上，得
  解得．
∴直線CM的解析式是．
（3）如圖，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁．

設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為－a．于是
．
同理，
∴．

解析