Question

【題目】如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC=6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點Q，PM∥OB交OA于點M．

（1）若∠AOB=45°，OM=4，OQ=，求證：CN⊥OB；

（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．

①問：的值是否發生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由；

②設菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①不會變化，見解析，②0＜＜

【解析】

（1）過P作PE⊥OA于E，NF⊥OA，先判斷四邊形OMPQ為平行四邊形，再用銳角三角函數求出∠PCE=45°，即可；

（2）①由四邊形OQPM是菱形，設OM=x，ON=y，則有OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，由相似三角形的判定可證△NQP∽△NOC，即，繼而即可得的值不發生變化；

②過P作PE⊥OA，過N作NF⊥OA，先判斷出△CPM∽△CNO再得到比例式，求解即可．

解：（1）如圖1，

過P作PE⊥OA于E，NF⊥OA，

∵PQ∥OA，PM∥OB，

∴四邊形OMPQ為平行四邊形，

∴PM=OQ= ，∠PME=∠AOB=45°，

∴PE=PMsin45°=1，ME=1，

∴CE=OC－OM－ME=1，

∴tan∠PCE= =1，

∴∠PCE=45°，

∴∠CNO=90°，

∴CN⊥OB；

（2）①的值不發生變化，

理由：設OM=x，ON=y，

∵四邊形OMPQ為菱形，

∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，

∵PQ∥OA，

∴∠NQP=∠O，

∵∠QNP=∠ONC，

∴△NQP∽△NOC，

∴ ，

∴ ，

∴6y－6x=xy，

∴，

∴；

②如圖2，

過P作PE⊥OA，過N作NF⊥OA，

∴S1=OM×PE，S2= OC×NF，

∴，

∵PM∥OB，

∴∠PMC=∠NOC，

∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO，

∴ ，

∴ ，

∵0＜x＜6，

∴0＜＜．